$(\frac{2}{3})^{40}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、また、その数字は何かを求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

$(\frac{2}{3})^{40}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、また、その数字は何かを求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$A = (\frac{2}{3})^{40}$ とおき、常用対数をとります。

$\log_{10} A = \log_{10} (\frac{2}{3})^{40} = 40 \log_{10} \frac{2}{3} = 40 (\log_{10} 2 - \log_{10} 3)$

与えられた値を代入すると、

$\log_{10} A = 40 (0.3010 - 0.4771) = 40(-0.1761) = -7.044$

$\log_{10} A = -7.044 = -8 + (8-7.044) = -8 + 0.956$

ここで、$A = 10^{-8} \times 10^{0.956}$ となります。

$10^{0.956}$ の値を推定します。

$\log_{10} 9 = \log_{10} 3^2 = 2 \log_{10} 3 = 2(0.4771) = 0.9542$

$\log_{10} 10 = 1$

$10^{0.956}$ は9と10の間にあることがわかり、9にかなり近いことがわかります。

$10^{0.956} \approx 9.0$ と近似できます。

したがって、$A = (\frac{2}{3})^{40} \approx 9.0 \times 10^{-8}$

よって、小数第8位に初めて0でない数字が現れ、その数字は9であると推定できます。

3. 最終的な答え

小数第8位に初めて0でない数字が現れ、その数字は9。