ある分子の基底状態と第一励起状態の縮退度がそれぞれ1と3である。これらのエネルギー準位間の差は $365 \text{ cm}^{-1}$ に相当する。$25^\circ\text{C}$ では、第一励起状態にある分子数は基底状態にある分子数の何%か。

1. 問題の内容

ある分子の基底状態と第一励起状態の縮退度がそれぞれ1と3である。これらのエネルギー準位間の差は $365 \text{ cm}^{-1}$ に相当する。$25^\circ\text{C}$ では、第一励起状態にある分子数は基底状態にある分子数の何%か。

2. 解き方の手順

この問題は、ボルツマン分布を使って解きます。ボルツマン分布は、ある温度 $T$ におけるエネルギー状態 $E_i$ にある分子の数 $N_i$ が、次の式で与えられることを示しています。

$N_i \propto g_i \exp\left(-\frac{E_i}{kT}\right)$

ここで、$g_i$ は状態 $i$ の縮退度、$k$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度です。

基底状態を状態0、第一励起状態を状態1とします。すると、それぞれの状態にある分子数の比は、次のようになります。

$\frac{N_1}{N_0} = \frac{g_1 \exp\left(-\frac{E_1}{kT}\right)}{g_0 \exp\left(-\frac{E_0}{kT}\right)} = \frac{g_1}{g_0} \exp\left(-\frac{E_1 - E_0}{kT}\right) = \frac{g_1}{g_0} \exp\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right)$

ここで、$g_0 = 1$, $g_1 = 3$ であり、$\Delta E = E_1 - E_0$ はエネルギー準位間の差です。

与えられたエネルギー準位の差は $365 \text{ cm}^{-1}$ ですが、これをジュール単位に変換する必要があります。

$\Delta E = 365 \text{ cm}^{-1} = 36500 \text{ m}^{-1}$.

$E = h c \tilde{\nu}$

ここで、$h$ はプランク定数 ($6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$)、$c$ は光速 ($2.998 \times 10^8 \text{ m/s}$)、$\tilde{\nu}$は波数です。

$\Delta E = (6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}) \times (2.998 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (36500 \text{ m}^{-1}) = 7.2685 \times 10^{-23} \text{ J}$

温度は $25^\circ\text{C} = 298.15 \text{ K}$ です。ボルツマン定数 $k = 1.381 \times 10^{-23} \text{ J/K}$ を用いると、

$\frac{\Delta E}{kT} = \frac{7.2685 \times 10^{-23} \text{ J}}{(1.381 \times 10^{-23} \text{ J/K}) \times (298.15 \text{ K})} = \frac{7.2685}{1.381 \times 298.15} = 1.7628$

よって、

$\frac{N_1}{N_0} = \frac{3}{1} \exp(-1.7628) = 3 \times 0.17209 = 0.51627$

第一励起状態にある分子数は基底状態にある分子数の $0.51627 \times 100\% = 51.627\%$ です。

3. 最終的な答え

5

1. 63%