円柱座標系におけるベクトル場 $\vec{A}$ の発散を、微小体積からの流出量を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

円柱座標系におけるベクトル場 $\vec{A}$ の発散を、微小体積からの流出量を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

円柱座標系における微小体積 $\Delta V$ を考えます。

$\Delta V = \rho \Delta \rho \Delta \phi \Delta z$

微小体積から流出する流量を計算します。$\vec{A} = A_{\rho} \hat{\rho} + A_{\phi} \hat{\phi} + A_{z} \hat{z}$とします。

$\rho$ 方向の流量:

$(\rho + \Delta \rho) A_{\rho}(\rho + \Delta \rho, \phi, z) \Delta \phi \Delta z - \rho A_{\rho}(\rho, \phi, z) \Delta \phi \Delta z$

$\phi$ 方向の流量:

$A_{\phi}(\rho, \phi + \Delta \phi, z) \Delta \rho \Delta z - A_{\phi}(\rho, \phi, z) \Delta \rho \Delta z$

$z$ 方向の流量:

$A_{z}(\rho, \phi, z + \Delta z) \rho \Delta \rho \Delta \phi - A_{z}(\rho, \phi, z) \rho \Delta \rho \Delta \phi$

全流出量 $\Delta F$ はこれらの和です。

$\Delta F = [(\rho + \Delta \rho) A_{\rho}(\rho + \Delta \rho, \phi, z) - \rho A_{\rho}(\rho, \phi, z)] \Delta \phi \Delta z + [A_{\phi}(\rho, \phi + \Delta \phi, z) - A_{\phi}(\rho, \phi, z)] \Delta \rho \Delta z + [A_{z}(\rho, \phi, z + \Delta z) - A_{z}(\rho, \phi, z)] \rho \Delta \rho \Delta \phi$

$\Delta F \approx [\rho A_{\rho} + \Delta \rho A_{\rho} + \rho \frac{\partial A_{\rho}}{\partial \rho} \Delta \rho - \rho A_{\rho}] \Delta \phi \Delta z + [\frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi} \Delta \phi] \Delta \rho \Delta z + [\frac{\partial A_{z}}{\partial z} \Delta z] \rho \Delta \rho \Delta \phi$

$\Delta F \approx [A_{\rho} \Delta \rho + \rho \frac{\partial A_{\rho}}{\partial \rho} \Delta \rho] \Delta \phi \Delta z + \frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi} \Delta \phi \Delta \rho \Delta z + \rho \frac{\partial A_{z}}{\partial z} \Delta z \Delta \rho \Delta \phi$

$\Delta F \approx (A_{\rho} + \rho \frac{\partial A_{\rho}}{\partial \rho} + \frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi} + \rho \frac{\partial A_{z}}{\partial z}) \Delta \rho \Delta \phi \Delta z$

発散は単位体積あたりの流出量なので、

$div \vec{A} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\Delta F}{\Delta V} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho A_{\rho}) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$

3. 最終的な答え

$div \vec{A} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho A_{\rho}) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$