スカラー場 $\phi = 2xyz$ とベクトル場 $\vec{A} = (4xz^2, x^2yz, 2xy^3)$ について、点 $(1,2,1)$ における以下の量を計算する。 (1) $\nabla \cdot \vec{A}$ (2) $\nabla \times \vec{A}$ (3) $\nabla \times (\phi \vec{A})$

1. 問題の内容

スカラー場 $\phi = 2xyz$ とベクトル場 $\vec{A} = (4xz^2, x^2yz, 2xy^3)$ について、点 $(1,2,1)$ における以下の量を計算する。

(1) $\nabla \cdot \vec{A}$

(2) $\nabla \times \vec{A}$

(3) $\nabla \times (\phi \vec{A})$

2. 解き方の手順

(1) $\nabla \cdot \vec{A}$ (発散) の計算

$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial}{\partial x}(4xz^2) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2yz) + \frac{\partial}{\partial z}(2xy^3)$

$= 4z^2 + x^2z + 0 = 4z^2 + x^2z$

点 $(1,2,1)$ における値は $4(1)^2 + (1)^2(1) = 4 + 1 = 5$

(2) $\nabla \times \vec{A}$ (回転) の計算

$\nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\

4xz^2 & x^2yz & 2xy^3

\end{vmatrix} = (\frac{\partial}{\partial y}(2xy^3) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2yz))\vec{i} - (\frac{\partial}{\partial x}(2xy^3) - \frac{\partial}{\partial z}(4xz^2))\vec{j} + (\frac{\partial}{\partial x}(x^2yz) - \frac{\partial}{\partial y}(4xz^2))\vec{k}$

$= (2x(3y^2) - x^2y)\vec{i} - (2y^3 - 8xz)\vec{j} + (2xyz - 0)\vec{k} = (6xy^2 - x^2y)\vec{i} + (8xz - 2y^3)\vec{j} + 2xyz\vec{k}$

点 $(1,2,1)$ における値は $(6(1)(2)^2 - (1)^2(2))\vec{i} + (8(1)(1) - 2(2)^3)\vec{j} + 2(1)(2)(1)\vec{k} = (24-2)\vec{i} + (8 - 16)\vec{j} + 4\vec{k} = 22\vec{i} - 8\vec{j} + 4\vec{k} = (22, -8, 4)$

(3) $\nabla \times (\phi \vec{A})$ の計算

$\phi \vec{A} = (2xyz)(4xz^2, x^2yz, 2xy^3) = (8x^2yz^3, 2x^3y^2z^2, 4x^2y^4z)$

$\nabla \times (\phi \vec{A}) = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\

8x^2yz^3 & 2x^3y^2z^2 & 4x^2y^4z

\end{vmatrix} = (\frac{\partial}{\partial y}(4x^2y^4z) - \frac{\partial}{\partial z}(2x^3y^2z^2))\vec{i} - (\frac{\partial}{\partial x}(4x^2y^4z) - \frac{\partial}{\partial z}(8x^2yz^3))\vec{j} + (\frac{\partial}{\partial x}(2x^3y^2z^2) - \frac{\partial}{\partial y}(8x^2yz^3))\vec{k}$

$= (4x^2(4y^3)z - 2x^3y^2(2z))\vec{i} - (4(2x)y^4z - 8x^2y(3z^2))\vec{j} + (2(3x^2)y^2z^2 - 8x^2z^3)\vec{k}$

$= (16x^2y^3z - 4x^3y^2z)\vec{i} + (24x^2yz^2 - 8xy^4z)\vec{j} + (6x^2y^2z^2 - 8x^2yz^3)\vec{k}$

点 $(1,2,1)$ における値は $(16(1)^2(2)^3(1) - 4(1)^3(2)^2(1))\vec{i} + (24(1)^2(2)(1)^2 - 8(1)(2)^4(1))\vec{j} + (6(1)^2(2)^2(1)^2 - 8(1)^2(2)(1)^3)\vec{k} = (16(8) - 4(4))\vec{i} + (24(2) - 8(16))\vec{j} + (6(4) - 8(2))\vec{k} = (128-16)\vec{i} + (48 - 128)\vec{j} + (24-16)\vec{k} = 112\vec{i} - 80\vec{j} + 8\vec{k} = (112, -80, 8)$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla \cdot \vec{A} = 5$

(2) $\nabla \times \vec{A} = (22, -8, 4)$

(3) $\nabla \times (\phi \vec{A}) = (112, -80, 8)$