直径 60mm の軸に標準寸法のキーを使用した場合に、キー溝の面圧を 98MPa に制限した場合と、キーのせん断許容応力を 39.2MPa とした場合に、200rpm で伝達できる動力 [kW] をそれぞれ求め、比較する問題です。ただし、キーの長さ $l$ は軸径 $d$ の 1.6 倍（$l = 1.6d$）とします。

1. 問題の内容

直径 60mm の軸に標準寸法のキーを使用した場合に、キー溝の面圧を 98MPa に制限した場合と、キーのせん断許容応力を 39.2MPa とした場合に、200rpm で伝達できる動力 [kW] をそれぞれ求め、比較する問題です。ただし、キーの長さ $l$ は軸径 $d$ の 1.6 倍（$l = 1.6d$）とします。

2. 解き方の手順

(1) キー溝の接触面圧からの動力計算

(a) キーとキー溝の接触深さ $\delta$ を計算します。

$\delta = \frac{d}{2} - \sqrt{(\frac{d}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2}$

ここで、$d = 60$ mm, $b = 18$ mm なので、

$\delta = \frac{60}{2} - \sqrt{(\frac{60}{2})^2 - (\frac{18}{2})^2} = 30 - \sqrt{900 - 81} = 30 - \sqrt{819} \approx 30 - 28.62 = 1.38$ mm

(b) キー溝の接触面積 $A_c$ を計算します。

$A_c = t_1 \times l = 4.4 \times (60 \times 1.6) = 4.4 \times 96 = 422.4 \text{ mm}^2$

(c) 許容できる接触力 $P_c$ を計算します。

$P_c = \text{許容面圧} \times A_c = 98 \text{ MPa} \times 422.4 \text{ mm}^2 = 41395.2 \text{ N}$

(d) 長さ $R_c$ を計算します。

$R_c = \frac{d}{2} - (\delta + \frac{t_1}{2}) = \frac{60}{2} - (1.38 + \frac{4.4}{2}) = 30 - (1.38 + 2.2) = 30 - 3.58 = 26.42 \text{ mm}$

(e) トルク $T_c$ を計算します。

$T_c = P_c \times R_c = 41395.2 \text{ N} \times 26.42 \text{ mm} = 1092666.784 \text{ Nmm} = 1092.67 \text{ Nm}$

(f) 動力 $P$ を計算します。

$P = \frac{2 \pi n}{60} \times T_c = \frac{2 \times \pi \times 200}{60} \times 1092.67 \text{ Nm} = 22885.99 \text{ W} \approx 22.89 \text{ kW}$

(2) キーのせん断応力からの動力計算

(a) せん断を受けるキーの面積 $A_s$ を計算します。

$A_s = b \times l = 18 \text{ mm} \times 96 \text{ mm} = 1728 \text{ mm}^2$

(b) 許容できるせん断力 $P_s$ を計算します。

$P_s = \text{せん断許容応力} \times A_s = 39.2 \text{ MPa} \times 1728 \text{ mm}^2 = 67724.8 \text{ N}$

(c) 長さ $R_s$ を計算します。

$R_s = \frac{d}{2} - \delta = \frac{60}{2} - 1.38 = 30 - 1.38 = 28.62 \text{ mm}$

(d) トルク $T_s$ を計算します。

$T_s = P_s \times R_s = 67724.8 \text{ N} \times 28.62 \text{ mm} = 1939290.176 \text{ Nmm} = 1939.29 \text{ Nm}$

(e) 動力 $P$ を計算します。

$P = \frac{2 \pi n}{60} \times T_s = \frac{2 \times \pi \times 200}{60} \times 1939.29 \text{ Nm} = 40609.83 \text{ W} \approx 40.61 \text{ kW}$

3. 最終的な答え

キー溝の接触面圧による伝達動力: 22.89 kW

キーのせん断応力による伝達動力: 40.61 kW