ベクトル場 $\vec{A}(x, y, z) = (2x \log y, \frac{x^2}{y} + 2yz, y^2)$ が与えられたとき、$\nabla \phi = \vec{A}$ となるスカラー関数 $\phi$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\vec{A}(x, y, z) = (2x \log y, \frac{x^2}{y} + 2yz, y^2)$ が与えられたとき、$\nabla \phi = \vec{A}$ となるスカラー関数 $\phi$ を求める。

2. 解き方の手順

$\nabla \phi = \vec{A}$ であるから、以下の連立方程式が成り立つ：

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2x \log y$ (1)

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + 2yz$ (2)

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = y^2$ (3)

(1)を $x$ で積分すると、

$\phi(x, y, z) = \int 2x \log y dx = x^2 \log y + f(y, z)$

次に、この結果を $y$ で偏微分すると、

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + \frac{\partial f(y, z)}{\partial y}$

(2)と比較すると、

$\frac{x^2}{y} + \frac{\partial f(y, z)}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + 2yz$

$\frac{\partial f(y, z)}{\partial y} = 2yz$

これを $y$ で積分すると、

$f(y, z) = \int 2yz dy = y^2 z + g(z)$

したがって、

$\phi(x, y, z) = x^2 \log y + y^2 z + g(z)$

最後に、この結果を $z$ で偏微分すると、

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = y^2 + \frac{dg(z)}{dz}$

(3)と比較すると、

$y^2 + \frac{dg(z)}{dz} = y^2$

$\frac{dg(z)}{dz} = 0$

これを $z$ で積分すると、

$g(z) = C$ (定数)

したがって、

$\phi(x, y, z) = x^2 \log y + y^2 z + C$

3. 最終的な答え

$\phi = x^2 \log y + y^2 z + C$ (Cは積分定数)