空気抵抗が速度に比例する斜方投射の鉛直方向の運動方程式が与えられています。 $m \frac{d}{dt}v_y = -mk v_y - mg$ この微分方程式を解き、$v_y(t)$ を求めます。初期条件は $v_y(0) = v_0 \sin \theta$ です。定数項 $-mg$ を消去するために変数変換を利用します。

1. 問題の内容

空気抵抗が速度に比例する斜方投射の鉛直方向の運動方程式が与えられています。

$m \frac{d}{dt}v_y = -mk v_y - mg$

この微分方程式を解き、$v_y(t)$ を求めます。初期条件は $v_y(0) = v_0 \sin \theta$ です。定数項 $-mg$ を消去するために変数変換を利用します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を変形します。

$m \frac{dv_y}{dt} = -mk v_y - mg$

$\frac{dv_y}{dt} = -k v_y - g$

ここで、$u(t) = v_y(t) + \frac{g}{k}$ と変数変換します。すると、$v_y(t) = u(t) - \frac{g}{k}$ となり、$\frac{dv_y}{dt} = \frac{du}{dt}$ です。

これを微分方程式に代入すると、

$\frac{du}{dt} = -k (u - \frac{g}{k}) - g$

$\frac{du}{dt} = -k u + g - g$

$\frac{du}{dt} = -k u$

この微分方程式は簡単に解けて、

$u(t) = C e^{-kt}$

ここで、$C$ は積分定数です。

$v_y(t) = u(t) - \frac{g}{k} = C e^{-kt} - \frac{g}{k}$

初期条件 $v_y(0) = v_0 \sin \theta$ を用いて、$C$ を求めます。

$v_y(0) = C e^{-k(0)} - \frac{g}{k} = C - \frac{g}{k} = v_0 \sin \theta$

$C = v_0 \sin \theta + \frac{g}{k}$

よって、$v_y(t)$ は次のようになります。

$v_y(t) = (v_0 \sin \theta + \frac{g}{k}) e^{-kt} - \frac{g}{k}$

3. 最終的な答え

$v_y(t) = (v_0 \sin \theta + \frac{g}{k}) e^{-kt} - \frac{g}{k}$