与えられた運動方程式 $m\frac{dv}{dt} = -kv + mg$ を解く問題です。ただし、$v(t) = e^{-\frac{k}{m}t}u(t)$という変数変換を用いて、$g$の項を消去し、初期条件$v(0) = v_0 \sin\theta$のもとで$v(t)$を求めます。

1. 問題の内容

与えられた運動方程式 $m\frac{dv}{dt} = -kv + mg$ を解く問題です。ただし、$v(t) = e^{-\frac{k}{m}t}u(t)$という変数変換を用いて、$g$の項を消去し、初期条件$v(0) = v_0 \sin\theta$のもとで$v(t)$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた変数変換を運動方程式に代入します。

$v(t) = e^{-\frac{k}{m}t}u(t)$を時間で微分すると、

$\frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m} e^{-\frac{k}{m}t}u(t) + e^{-\frac{k}{m}t}\frac{du}{dt}$

これを運動方程式に代入します。

$m(-\frac{k}{m} e^{-\frac{k}{m}t}u(t) + e^{-\frac{k}{m}t}\frac{du}{dt}) = -k e^{-\frac{k}{m}t}u(t) + mg$

$-k e^{-\frac{k}{m}t}u(t) + me^{-\frac{k}{m}t}\frac{du}{dt} = -k e^{-\frac{k}{m}t}u(t) + mg$

$me^{-\frac{k}{m}t}\frac{du}{dt} = mg$

$e^{-\frac{k}{m}t}$で両辺を割ると、

$m\frac{du}{dt} = mge^{\frac{k}{m}t}$

$\frac{du}{dt} = ge^{\frac{k}{m}t}$

この式を積分します。

$\int \frac{du}{dt} dt = \int ge^{\frac{k}{m}t} dt$

$u(t) = \frac{mg}{k}e^{\frac{k}{m}t} + C$ (Cは積分定数)

ここで、$v(t) = e^{-\frac{k}{m}t}u(t)$より、

$v(t) = e^{-\frac{k}{m}t}(\frac{mg}{k}e^{\frac{k}{m}t} + C)$

$v(t) = \frac{mg}{k} + Ce^{-\frac{k}{m}t}$

次に、初期条件$v(0) = v_0 \sin\theta$を代入します。

$v_0 \sin\theta = \frac{mg}{k} + Ce^0$

$v_0 \sin\theta = \frac{mg}{k} + C$

$C = v_0 \sin\theta - \frac{mg}{k}$

よって、$v(t)$は

$v(t) = \frac{mg}{k} + (v_0 \sin\theta - \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t}$

3. 最終的な答え

$v(t) = \frac{mg}{k} + (v_0 \sin\theta - \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t}$