政府が$t$期に$G_t = 100$の財政支出を行い、それ以外の期間の財政支出は$G_{t+i} = 0$ ($i = 1, ...$)である。家計の課税前の所得は$Y_t = 100$, $Y_{t+1} = 120$, $Y_{t+2} = 150$である。政府は$t$期に租税$T_t = 50$を課し、国債$B_{t+1} = 50$を発行する。国債の元利合計を$t+1$期の租税として徴収し、国債の1期間の金利は$r_{t+1} = 20\%$である。このとき、$t$期、$t+1$期、$t+2$期の家計の可処分所得を行ベクトルの形式で表す。

1. 問題の内容

政府が$t$期に$G_t = 100$の財政支出を行い、それ以外の期間の財政支出は$G_{t+i} = 0$ ($i = 1, ...$)である。家計の課税前の所得は$Y_t = 100$, $Y_{t+1} = 120$, $Y_{t+2} = 150$である。政府は$t$期に租税$T_t = 50$を課し、国債$B_{t+1} = 50$を発行する。国債の元利合計を$t+1$期の租税として徴収し、国債の1期間の金利は$r_{t+1} = 20\%$である。このとき、$t$期、$t+1$期、$t+2$期の家計の可処分所得を行ベクトルの形式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$t$期の可処分所得を計算する。$t$期の課税前の所得は$Y_t = 100$であり、租税は$T_t = 50$なので、$t$期の可処分所得は$Y_t - T_t = 100 - 50 = 50$となる。

次に、$t+1$期の可処分所得を計算する。$t+1$期の課税前の所得は$Y_{t+1} = 120$である。$t$期に発行された国債$B_{t+1} = 50$の$t+1$期における元利合計は、

$B_{t+1} (1 + r_{t+1}) = 50(1 + 0.2) = 50(1.2) = 60$

となる。したがって、$t+1$期の租税は60である。よって、$t+1$期の可処分所得は$Y_{t+1} - 60 = 120 - 60 = 60$となる。

最後に、$t+2$期の可処分所得を計算する。$t+2$期の課税前の所得は$Y_{t+2} = 150$である。問題文から$t+2$期には租税は発生しないため、$t+2$期の可処分所得は$Y_{t+2} = 150$となる。

したがって、家計の$t$期、$t+1$期、$t+2$期における可処分所得はそれぞれ50, 60, 150となる。

3. 最終的な答え

(50, 60, 150)