ヘリウム(He)をファンデルワールスの実在気体として扱ったとき、ファンデルワールス定数 $b$ は教科書の表8-1より $0.0238 \ L \ mol^{-1}$ である。この$b$の値から、ヘリウム原子を球と仮定したときの半径を求め、教科書の表3-3に記載されているヘリウムの半径と比較せよ。

1. 問題の内容

ヘリウム(He)をファンデルワールスの実在気体として扱ったとき、ファンデルワールス定数 $b$ は教科書の表8-1より $0.0238 \ L \ mol^{-1}$ である。この$b$の値から、ヘリウム原子を球と仮定したときの半径を求め、教科書の表3-3に記載されているヘリウムの半径と比較せよ。

2. 解き方の手順

ファンデルワールス定数 $b$ は、気体分子の排除体積に関連付けられています。

$N_A$ をアボガドロ定数、$r$ をヘリウム原子の半径とすると、1モルの気体分子の排除体積は、

$b = 4 N_A V_m$

ここで、$V_m$ は1分子あたりの排除体積であり、球体分子の場合

$V_m = \frac{4}{3} \pi r^3$

したがって、

$b = 4 N_A \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{16}{3} \pi N_A r^3$

この式から、半径 $r$ を求めることができます。

$r^3 = \frac{3b}{16 \pi N_A}$

$r = \sqrt[3]{\frac{3b}{16 \pi N_A}}$

ここで、$b = 0.0238 \ L \ mol^{-1} = 0.0238 \times 10^{-3} \ m^3 \ mol^{-1}$、$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ を代入すると、

$r = \sqrt[3]{\frac{3 \times 0.0238 \times 10^{-3} \ m^3 \ mol^{-1}}{16 \pi \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}} = \sqrt[3]{\frac{7.14 \times 10^{-5}}{3.02 \times 10^{25}\pi}} \ m$

$r = \sqrt[3]{7.51 \times 10^{-31}} \ m = 1.96 \times 10^{-10} \ m = 196 \ pm$

教科書の表3-3と比較する（仮定）。

(教科書がないため、参考文献として一般的なヘリウム原子の半径と比較します。)

ヘリウム原子のファンデルワールス半径は、おおよそ 140 pm とされています。

したがって、$b$ から求めた半径は、一般的に知られるヘリウム原子のファンデルワールス半径よりも少し大きい値となります。

3. 最終的な答え

ヘリウムを球としたときの半径: $196 \ pm$