球座標系 $(r, \theta, \phi)$ におけるベクトル場 $\vec{A}$ の発散を、微小体積における流出量から求める。

1. 問題の内容

球座標系 $(r, \theta, \phi)$ におけるベクトル場 $\vec{A}$ の発散を、微小体積における流出量から求める。

2. 解き方の手順

ベクトル場 $\vec{A}$ を球座標系で $\vec{A} = A_r \hat{r} + A_\theta \hat{\theta} + A_\phi \hat{\phi}$ と表す。微小体積要素 $dV$ は $dV = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi$ である。微小体積からの流出量を計算し、体積で割ることで発散を求める。

微小体積における流出量を計算する。

まず、$r$ 方向の流出を考える。

$r = r_0$ の面から流入する量は $-A_r(r_0, \theta, \phi) r_0^2 \sin \theta d\theta d\phi$

$r = r_0 + dr$ の面から流出する量は $A_r(r_0+dr, \theta, \phi) (r_0+dr)^2 \sin \theta d\theta d\phi$

$r$ 方向の流出量は $A_r(r_0+dr, \theta, \phi) (r_0+dr)^2 \sin \theta d\theta d\phi - A_r(r_0, \theta, \phi) r_0^2 \sin \theta d\theta d\phi \approx \frac{\partial}{\partial r} (A_r r^2) dr \sin \theta d\theta d\phi$

次に、$\theta$ 方向の流出を考える。

$\theta = \theta_0$ の面から流入する量は $-A_\theta(r, \theta_0, \phi) r dr d\phi$

$\theta = \theta_0 + d\theta$ の面から流出する量は $A_\theta(r, \theta_0+d\theta, \phi) r dr d\phi$

$\theta$ 方向の流出量は $A_\theta(r, \theta_0+d\theta, \phi) r dr d\phi - A_\theta(r, \theta_0, \phi) r dr d\phi \approx \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} r dr d\theta d\phi$

ただし、$\theta$方向の面積要素は、$r d\phi (r\sin\theta)$より、$r \sin \theta$を考慮する必要があるため、$\theta$方向の流出量は $\frac{\partial (A_\theta \sin \theta)}{\partial \theta} r dr d\theta d\phi$となる。

最後に、$\phi$ 方向の流出を考える。

$\phi = \phi_0$ の面から流入する量は $-A_\phi(r, \theta, \phi_0) r \sin \theta dr d\theta$

$\phi = \phi_0 + d\phi$ の面から流出する量は $A_\phi(r, \theta, \phi_0+d\phi) r \sin \theta dr d\theta$

$\phi$ 方向の流出量は $A_\phi(r, \theta, \phi_0+d\phi) r \sin \theta dr d\theta - A_\phi(r, \theta, \phi_0) r \sin \theta dr d\theta \approx \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} r \sin \theta dr d\theta d\phi$

全流出量は、$r, \theta, \phi$方向の流出量の和である。

全流出量 $= \frac{\partial}{\partial r} (A_r r^2) dr \sin \theta d\theta d\phi + \frac{\partial (A_\theta \sin \theta)}{\partial \theta} r dr d\theta d\phi + \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} r \sin \theta dr d\theta d\phi$

発散は、全流出量を微小体積 $dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$ で割ったものである。

$div \vec{A} = \frac{1}{r^2 \sin\theta} [\frac{\partial}{\partial r} (r^2 \sin\theta A_r) + \frac{\partial}{\partial \theta} (r \sin\theta A_\theta) + \frac{\partial}{\partial \phi} (r A_\phi)]$

$div \vec{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta A_\theta) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}$

3. 最終的な答え

球座標系におけるベクトル場 $\vec{A}$ の発散は、

$div \vec{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta A_\theta) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}$