長さ $3l$ [m] の糸に質量 $m = 5$ [kg] の重りを取り付け、糸が鉛直と $60^\circ$ の角度をなして同一水平面を等速円運動している。円周率は $\pi$ 、重力加速度の大きさは $g$ [m/s$^2$] とする。以下の問いに答えよ。 (1) 重りの円運動の角速度の大きさを求めよ。 (2) 向心力の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

長さ $3l$ [m] の糸に質量 $m = 5$ [kg] の重りを取り付け、糸が鉛直と $60^\circ$ の角度をなして同一水平面を等速円運動している。円周率は $\pi$ 、重力加速度の大きさは $g$ [m/s$^2$] とする。以下の問いに答えよ。

(1) 重りの円運動の角速度の大きさを求めよ。

(2) 向心力の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角速度の大きさ

糸の張力を $S$ とする。重りには、重力 $mg$ と糸の張力 $S$ が働いている。

鉛直方向の力のつり合いより、

$S \cos{60^\circ} = mg$

水平方向の運動方程式より、

$S \sin{60^\circ} = mr\omega^2$

ここで、$r$ は回転半径であり、$r = 3l \sin{60^\circ}$ である。

$S = \frac{mg}{\cos{60^\circ}} = 2mg$ を水平方向の運動方程式に代入すると、

$2mg \sin{60^\circ} = m(3l \sin{60^\circ}) \omega^2$

$\omega^2 = \frac{2g}{3l}$

$\omega = \sqrt{\frac{2g}{3l}}$

(2) 向心力の大きさ

向心力は $mr\omega^2$ であるから、

$F = m (3l \sin{60^\circ}) \omega^2 = m (3l \sin{60^\circ}) \frac{2g}{3l} = 2mg \sin{60^\circ} = 2mg \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} mg$

3. 最終的な答え

(1) 角速度の大きさ: $\sqrt{\frac{2g}{3l}}$ [rad/s]

(2) 向心力の大きさ: $\sqrt{3}mg$ [N]