初速度 $v_0$ で角度 $\theta$ で投射された物体が、座標 $(X, Y)$ に命中するような $\tan \theta$ の値を求める問題です。重力加速度を $g$ とします。

## 問題６：座標 (X, Y) にある的に命中させるために必要な投射角 tan θ を求める。

1. **問題の内容**

初速度 $v_0$ で角度 $\theta$ で投射された物体が、座標 $(X, Y)$ に命中するような $\tan \theta$ の値を求める問題です。重力加速度を $g$ とします。

2. **解き方の手順**

まず、物体の運動を水平方向と垂直方向に分けて考えます。

* 水平方向の運動（等速直線運動）：

$x = v_0 \cos \theta \cdot t$

したがって、$t = \frac{x}{v_0 \cos \theta}$

* 垂直方向の運動（等加速度運動）：

$y = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

座標 $(X, Y)$ に命中するので、$x = X$、$y = Y$ を代入します。

$Y = v_0 \sin \theta \cdot \frac{X}{v_0 \cos \theta} - \frac{1}{2} g (\frac{X}{v_0 \cos \theta})^2$

$Y = X \tan \theta - \frac{g X^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta}$ を用いて、$\cos^2 \theta$ を消去します。

$Y = X \tan \theta - \frac{g X^2}{2 v_0^2} (1 + \tan^2 \theta)$

$\frac{g X^2}{2 v_0^2} \tan^2 \theta - X \tan \theta + (Y + \frac{g X^2}{2 v_0^2}) = 0$

この $\tan \theta$ に関する2次方程式を解きます。解の公式より

$\tan \theta = \frac{X \pm \sqrt{X^2 - 4 \cdot \frac{gX^2}{2v_0^2} (Y + \frac{gX^2}{2v_0^2})}}{2 \cdot \frac{gX^2}{2v_0^2}}$

$\tan \theta = \frac{v_0^2}{gX} \left( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2gY}{v_0^2} - \frac{g^2 X^2}{v_0^4}} \right)$

3. **最終的な答え**

$\tan \theta = \frac{v_0^2}{gX} \left( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2gY}{v_0^2} - \frac{g^2 X^2}{v_0^4}} \right)$

## 問題７：質点が移動する際の軌跡と地面との間の面積が最大となるような投射角 $\theta_{max}$ を求める。ただし、$0 < \theta_{max} < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. **問題の内容**

初速度 $v_0$ で角度 $\theta_{max}$ で投射された物体の軌跡と地面との間の面積が最大となるような $\theta_{max}$ の値を求める問題です。

2. **解き方の手順**

まず、面積を求めます。面積は、放物線の式を積分することで求めることができますが、ここでは放物線の性質を利用して、簡略化します。

* 水平到達距離 $R$ は、$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

* 最高点の高さ $H$ は、$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$

* 放物線と地面との間の面積は、$S = \frac{2}{3} R H$

これらの式を代入すると、

$S = \frac{2}{3} \cdot \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \cdot \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{v_0^4}{3g^2} \sin(2\theta) \sin^2 \theta$

面積 $S$ が最大になるような $\theta$ を求めます。$S$ を $\theta$ で微分して、$dS/d\theta = 0$ となる条件を探します。

$\frac{dS}{d\theta} = \frac{v_0^4}{3g^2} (2\cos(2\theta) \sin^2 \theta + \sin(2\theta) 2\sin \theta \cos \theta) = 0$

$\frac{dS}{d\theta} = \frac{2v_0^4}{3g^2} (\cos(2\theta) \sin^2 \theta + \sin^2 \theta \cos \theta \cos \theta) =0$

$\frac{dS}{d\theta} = \frac{2v_0^4}{3g^2} \sin^2 \theta (\cos(2\theta) + \cos^2 \theta) = 0$

$\sin \theta = 0$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ に反するので、$cos(2\theta) + cos^2 \theta = 0$ を解きます。

$cos(2\theta) = 2cos^2 \theta - 1$ であるため、

$2cos^2 \theta - 1 + cos^2 \theta = 0$

$3cos^2 \theta = 1$

$cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\theta = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 0.9553 \text{ rad} \approx 54.73^{\circ}$

3. **最終的な答え**

$\theta_{max} = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$