半径 $R$、質量 $M$ の円板の端に紐をかけ、$F$ の力で長さ $h$ だけ真っ直ぐに引いたときの、円板の角速度 $\omega$ を求める問題です。円板の中心軸は移動しないものとします。

1. 問題の内容

半径 $R$、質量 $M$ の円板の端に紐をかけ、$F$ の力で長さ $h$ だけ真っ直ぐに引いたときの、円板の角速度 $\omega$ を求める問題です。円板の中心軸は移動しないものとします。

2. 解き方の手順

円板の中心軸が移動しないので、円板は回転運動をします。

紐を引くことで、力 $F$ が円板に対してトルクを与え、円板の回転運動のエネルギーが増加します。

エネルギー保存則を用いることで、角速度を求めることができます。

トルク $\tau$ は、力 $F$ と半径 $R$ の積で表されます。

$\tau = F R$

トルクによって行われた仕事 $W$ は、トルクと回転角 $\theta$ の積で表されます。

$W = \tau \theta = F R \theta$

紐を長さ $h$ だけ引いたときの回転角 $\theta$ は、弧長と半径の関係から、$h = R \theta$ より、$\theta = \frac{h}{R}$ となります。

したがって、仕事 $W$ は、

$W = F R \left( \frac{h}{R} \right) = Fh$

この仕事が円板の回転エネルギーに変換されます。

円板の慣性モーメント $I$ は、中心軸まわりの回転に対して $I = \frac{1}{2} M R^2$ です。

回転エネルギー $K$ は、$K = \frac{1}{2} I \omega^2$ で表されます。

したがって、

$K = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} M R^2 \right) \omega^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega^2$

エネルギー保存則より、$W = K$ なので、

$Fh = \frac{1}{4} M R^2 \omega^2$

$\omega^2 = \frac{4Fh}{MR^2}$

$\omega = \sqrt{\frac{4Fh}{MR^2}} = \frac{2}{R} \sqrt{\frac{Fh}{M}}$

3. 最終的な答え

$\omega = \frac{2}{R} \sqrt{\frac{Fh}{M}}$

したがって、選択肢Dが正しいです。