二項係数 $_7C_5$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

二項係数 $_7C_5$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

二項係数の定義より、

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

である。

したがって、

$_7C_5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!}$

となる。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$2! = 2 \times 1 = 2$

$_7C_5 = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5! \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6}{2} = 7 \times 3 = 21$

$_7C_5$ は、7個のものから5個を選ぶ組み合わせの数に等しい。

また、7個のものから5個を選ぶことは、7個のものから選ばない2個を選ぶことと同じなので、

$_7C_5 = _7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

としても計算できる。

3. 最終的な答え

21