与えられた二重根号の式を、二重根号を外して簡単にすることを求められています。 (1) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ (2) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

1. 問題の内容

与えられた二重根号の式を、二重根号を外して簡単にすることを求められています。

(1) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

(2) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外すには、$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ の公式を使うか、もしくは $x+y=a$ と $xy=b$を満たす$x,y$を探す方法があります。ここでは後者の方法を使います。

(1) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

$\sqrt{A-2\sqrt{B}}$の形になっているので、$x+y = 9$, $xy=14$となる$x,y$を探します。

$x=7, y=2$とすると、$x+y = 7+2 = 9$, $xy = 7 \times 2 = 14$となり条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

$\sqrt{A-\sqrt{B}}$の形になっていますが、$2\sqrt{B}$の形にするために、根号の中に無理やり2を作ります。

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$

$x+y = 8$, $xy=15$となる$x,y$を探します。

$x=5, y=3$とすると、$x+y = 5+3 = 8$, $xy = 5 \times 3 = 15$となり条件を満たします。

したがって、

$\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7}-\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$