6個の数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作る。 (1) 4300より大きい整数は何個あるか。 (2) 5000より大きい偶数は何個あるか。

1. 問題の内容

6個の数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作る。

(1) 4300より大きい整数は何個あるか。

(2) 5000より大きい偶数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 4300より大きい整数

まず、千の位が4の場合を考える。百の位が3より大きい数字であれば良いので、百の位は4, 5, 6のいずれかとなる。

* 千の位が4、百の位が4の場合: 十の位と一の位は残りの4個の数字から2個選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$通り。

* 千の位が4、百の位が5の場合: 十の位と一の位は残りの4個の数字から2個選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$通り。

* 千の位が4、百の位が6の場合: 十の位と一の位は残りの4個の数字から2個選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$通り。

次に、千の位が5または6の場合を考える。

* 千の位が5の場合: 百、十、一の位は残りの5個の数字から3個選んで並べるので、$5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

* 千の位が6の場合: 百、十、一の位は残りの5個の数字から3個選んで並べるので、$5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

したがって、4300より大きい整数の個数は、

$12 + 12 + 12 + 60 + 60 = 156$個

(2) 5000より大きい偶数

千の位が5または6の場合を考える。

* 千の位が5の場合: 一の位は2, 4, 6のいずれかである。

* 一の位が2, 4, 6の場合：百と十の位は残りの4個の数字から2個選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$通り。したがって$12 \times 3 = 36$通り

* 千の位が6の場合: 一の位は2, 4のいずれかである。

* 一の位が2, 4の場合：百と十の位は残りの4個の数字から2個選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$通り。したがって$12 \times 2 = 24$通り。

したがって、5000より大きい偶数の個数は、

$36 + 24 = 60$個

3. 最終的な答え

(1) 156個

(2) 60個