定積分 $\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $x^2 + x - 6$ の不定積分を求めます。

$\int (x^2 + x - 6) dx = \int x^2 dx + \int x dx - \int 6 dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x + C$

次に、定積分の定義に従って、積分区間の上限と下限の値を上記の不定積分に代入し、その差を計算します。

$\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{-3}^{2}$

$\left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{x=2} = \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6(2) = \frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 12 = \frac{8}{3} + 2 - 12 = \frac{8}{3} - 10 = \frac{8}{3} - \frac{30}{3} = -\frac{22}{3}$

$\left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{x=-3} = \frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6(-3) = \frac{-27}{3} + \frac{9}{2} + 18 = -9 + \frac{9}{2} + 18 = 9 + \frac{9}{2} = \frac{18}{2} + \frac{9}{2} = \frac{27}{2}$

最後に、上限の値から下限の値を引きます。

$\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx = -\frac{22}{3} - \frac{27}{2} = -\frac{44}{6} - \frac{81}{6} = -\frac{125}{6}$

3. 最終的な答え

$-\frac{125}{6}$