$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2 \cos x}$ を求める。

## 問5.3 (1) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2 \cos x}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ であることを利用し、$x^2 \cos x$ の $\cos x$ を無視できるかを考えます。

$x$ が十分に 0 に近いとき、$\cos x$ は 1 に近い値なので、$\cos x$ を 1 で置き換えても極限値は変わらないことが期待できます。

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2 \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$$

を計算すればよいことになります。

ここで、$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ を用いると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \right)^2$$

ここで、$\frac{x}{2} = t$ とおくと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

$$2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \right)^2 = 2 \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin t}{2t} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin t}{t} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 問5.3 (2) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} \right)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分すると、

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x}$$

ここで、ロピタルの定理を適用することを考えます。$x \to 0$ のとき、$x - \sin x \to 0$ かつ $x \sin x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。したがって、ロピタルの定理を用いると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x}$$

再び、$x \to 0$ のとき、$1 - \cos x \to 0$ かつ $\sin x + x \cos x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。したがって、再びロピタルの定理を用いると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \cos x - x \sin x}$$

ここで、$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ かつ $2 \cos x - x \sin x \to 2$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \cos x - x \sin x} = \frac{0}{2} = 0$$

となります。

3. 最終的な答え

$0$

## 問5.3 (3) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$ を求める。ただし、$a > 0, b > 0$ とする。

2. 解き方の手順

$x \to 0$ のとき、$a^x \to 1$ かつ $b^x \to 1$ なので、$a^x - b^x \to 0$ となり、$\frac{0}{0}$ の不定形となります。

したがって、ロピタルの定理を用いると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \log a - b^x \log b}{1} = a^0 \log a - b^0 \log b = \log a - \log b = \log \frac{a}{b}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\log \frac{a}{b}$

## 問5.3 (4) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\log x} \right)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分すると、

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\log x} \right) = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x - (x-1)}{(x-1) \log x}$$

ここで、$x \to 1$ のとき、$x \log x - (x-1) \to 1 \cdot \log 1 - (1-1) = 0$ かつ $(x-1) \log x \to (1-1) \log 1 = 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形となります。

したがって、ロピタルの定理を用いると、

$$\lim_{x \to 1} \frac{x \log x - (x-1)}{(x-1) \log x} = \lim_{x \to 1} \frac{\log x + x \cdot \frac{1}{x} - 1}{\log x + (x-1) \cdot \frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{\log x + \frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{\log x + 1 - \frac{1}{x}}$$

再び、$x \to 1$ のとき、$\log x \to 0$ かつ $\log x + 1 - \frac{1}{x} \to 0 + 1 - 1 = 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形となります。

したがって、再びロピタルの定理を用いると、

$$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{\log x + 1 - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x+1}{x^2}} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2}{x(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x}{x+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 問5.3 (5) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right|$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to \infty} \frac{x-a}{x+a} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{a}{x}}{1+\frac{a}{x}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$ であることを利用します。

$\lim_{x \to \infty} x \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| = \lim_{x \to \infty} \frac{\log \left| \frac{x-a}{x+a} \right|}{\frac{1}{x}}$

ここで、$x \to \infty$ のとき、$\log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \to \log 1 = 0$ かつ $\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形となります。

したがって、ロピタルの定理を用いると、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log \left| \frac{x-a}{x+a} \right|}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x+a}{x-a} \cdot \frac{(x+a) - (x-a)}{(x+a)^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x+a}{x-a} \cdot \frac{2a}{(x+a)^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2a}{(x-a)(x+a)}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2a}{x^2 - a^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2ax^2}{x^2 - a^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2a}{1 - \frac{a^2}{x^2}} = \frac{-2a}{1 - 0} = -2a$$

となります。

3. 最終的な答え

$-2a$

## 問5.3 (6) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (1 + 2^x)}{x}$ を求める。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (1 + 2^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log (2^x (2^{-x} + 1))}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log (2^x) + \log (2^{-x} + 1)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x \log 2 + \log (2^{-x} + 1)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( \log 2 + \frac{\log (2^{-x} + 1)}{x} \right)$

ここで、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (2^{-x} + 1)}{x} = 0$ であることを示します。

$x \to \infty$ のとき、$2^{-x} \to 0$ なので、$\log (2^{-x} + 1) \to \log (0 + 1) = 0$ となります。

したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (2^{-x} + 1)}{x} = 0$ となります。

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \left( \log 2 + \frac{\log (2^{-x} + 1)}{x} \right) = \log 2 + 0 = \log 2$$

となります。

3. 最終的な答え

$\log 2$

## 問5.4 の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{1 - x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{-2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2}$ の計算が正しいかどうかを判断し、正しくない場合は誤りを指摘する。

2. 解き方の手順

この計算の誤りは、最初のステップ $\lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{1 - x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{-2x}$ にあります。

ロピタルの定理は、$\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形の極限を求める際に用いることができます。

この場合、$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{1 - x^2} = \frac{1 + \cos 0}{1 - 0^2} = \frac{1 + 1}{1} = 2$ であり、$\frac{0}{0}$ の不定形ではありません。したがって、ロピタルの定理を適用することはできません。

3. 最終的な答え

計算は正しくない。誤りは、ロピタルの定理を適用する必要がない極限に適用したことである。正しい極限値は2。