次の2つの関数について、指定された区間における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^4 - \frac{4}{3}x^3$　($0 \le x \le 2$) (2) $y = e^x(x - 1)$　($-1 \le x \le 2$)

1. 問題の内容

次の2つの関数について、指定された区間における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^4 - \frac{4}{3}x^3$　($0 \le x \le 2$)

(2) $y = e^x(x - 1)$　($-1 \le x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 - \frac{4}{3}x^3$ ($0 \le x \le 2$)

まず、導関数を求めます。

$y' = 4x^3 - 4x^2 = 4x^2(x - 1)$

$y' = 0$となるのは、$x = 0, 1$です。

区間の端点と、$y'=0$となる点での$y$の値を計算します。

$x = 0$のとき、$y = 0^4 - \frac{4}{3}0^3 = 0$

$x = 1$のとき、$y = 1^4 - \frac{4}{3}1^3 = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$

$x = 2$のとき、$y = 2^4 - \frac{4}{3}2^3 = 16 - \frac{32}{3} = \frac{48 - 32}{3} = \frac{16}{3}$

したがって、最大値は$\frac{16}{3}$ (x=2)、最小値は$-\frac{1}{3}$ (x=1)です。

(2) $y = e^x(x - 1)$ ($-1 \le x \le 2$)

まず、導関数を求めます。

$y' = e^x(x - 1) + e^x = e^x(x - 1 + 1) = xe^x$

$y' = 0$となるのは、$x = 0$です。

区間の端点と、$y'=0$となる点での$y$の値を計算します。

$x = -1$のとき、$y = e^{-1}(-1 - 1) = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$

$x = 0$のとき、$y = e^0(0 - 1) = 1(-1) = -1$

$x = 2$のとき、$y = e^2(2 - 1) = e^2$

$e \approx 2.718$なので、$-\frac{2}{e} \approx -0.736$、$e^2 \approx 7.389$

したがって、最大値は$e^2$ (x=2)、最小値は$-1$ (x=0)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{16}{3}$、最小値: $-\frac{1}{3}$

(2) 最大値: $e^2$、最小値: $-1$