関数 $y = -x^3 + 3x^2 - a$ の極大値と極小値がともに負となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^3 + 3x^2 - a$ の極大値と極小値がともに負となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を与える $x$ の値を求めます。

$y' = -3x^2 + 6x$

$y' = -3x(x - 2)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = 2$ のときです。

次に、$y''$ を計算して、極大値と極小値を判定します。

$y'' = -6x + 6$

$x = 0$ のとき、$y'' = 6 > 0$ なので、$x = 0$ で極小値を取ります。

$x = 2$ のとき、$y'' = -6 < 0$ なので、$x = 2$ で極大値を取ります。

したがって、

極小値は $y(0) = -a$

極大値は $y(2) = -2^3 + 3 \cdot 2^2 - a = -8 + 12 - a = 4 - a$

極大値と極小値がともに負となる条件は、

$-a < 0$ かつ $4 - a < 0$

$a > 0$ かつ $a > 4$

これを満たす $a$ の範囲は $a > 4$ となります。

3. 最終的な答え

$a > 4$