与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$

を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、$\sin x = t$ とおきます。すると、$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ となります。したがって、与えられた極限は

$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t}$

となります。

ここで、$\log_e(1+t)$ の $t=0$ の周りでのテイラー展開を考えると、

$\log_e(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + \dots$

となります。よって、

$\frac{\log_e(1+t)}{t} = 1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \frac{t^3}{4} + \dots$

となります。したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \left(1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \frac{t^3}{4} + \dots\right) = 1$

となります。

別の解法として、ロピタルの定理を用いることもできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \log_e(1 + \sin x)}{\frac{d}{dx} \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{1 + \sin x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sin x}$

となります。

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

となります。

3. 最終的な答え

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