与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x}$

を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

の極限を利用します。

まず、$\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}$ を次のように変形します。

$\frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}$

ここで、$\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}$ の部分に注目します。

$\sin x = t$ と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

また、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ となります。

したがって、求める極限は、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} \right)$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}$

$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

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