与えられた2つの関数の極値を求め、そのグラフの概形を描く問題です。 (1) $y = x^3 - x^2 - x$ (2) $y = \frac{3}{4}x^4 + x^3 - 3x^2 + 4$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数の極値を求め、そのグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = x^3 - x^2 - x$

(2) $y = \frac{3}{4}x^4 + x^3 - 3x^2 + 4$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - x^2 - x$ の場合

* まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^2 - 2x - 1$

* 次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

$(3x + 1)(x - 1) = 0$

$x = -\frac{1}{3}, 1$

* さらに、第二導関数 $y''$ を求めます。

$y'' = 6x - 2$

* $x = -\frac{1}{3}$ のとき、$y'' = 6(-\frac{1}{3}) - 2 = -4 < 0$ なので、極大値を取ります。

極大値 $y(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{-1 - 3 + 9}{27} = \frac{5}{27}$

* $x = 1$ のとき、$y'' = 6(1) - 2 = 4 > 0$ なので、極小値を取ります。

極小値 $y(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1$

* グラフの概形：$x$が小さいとき、$y$は負の無限大に、$x$が大きいとき、$y$は正の無限大に発散します。$x=-\frac{1}{3}$で極大、$x=1$で極小となる３次関数です。

(2) $y = \frac{3}{4}x^4 + x^3 - 3x^2 + 4$ の場合

* まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^3 + 3x^2 - 6x$

* 次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^3 + 3x^2 - 6x = 0$

$3x(x^2 + x - 2) = 0$

$3x(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 0, 1$

* さらに、第二導関数 $y''$ を求めます。

$y'' = 9x^2 + 6x - 6$

* $x = -2$ のとき、$y'' = 9(-2)^2 + 6(-2) - 6 = 36 - 12 - 6 = 18 > 0$ なので、極小値を取ります。

極小値 $y(-2) = \frac{3}{4}(-2)^4 + (-2)^3 - 3(-2)^2 + 4 = \frac{3}{4}(16) - 8 - 3(4) + 4 = 12 - 8 - 12 + 4 = -4$

* $x = 0$ のとき、$y'' = 9(0)^2 + 6(0) - 6 = -6 < 0$ なので、極大値を取ります。

極大値 $y(0) = \frac{3}{4}(0)^4 + (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$

* $x = 1$ のとき、$y'' = 9(1)^2 + 6(1) - 6 = 9 + 6 - 6 = 9 > 0$ なので、極小値を取ります。

極小値 $y(1) = \frac{3}{4}(1)^4 + (1)^3 - 3(1)^2 + 4 = \frac{3}{4} + 1 - 3 + 4 = \frac{3}{4} + 2 = \frac{11}{4}$

* グラフの概形：$x$が正負の無限大に発散するとき、$y$は正の無限大に発散します。$x=-2, 1$で極小、$x=0$で極大となる４次関数です。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^3 - x^2 - x$

* 極大値: $x = -\frac{1}{3}$ のとき $y = \frac{5}{27}$

* 極小値: $x = 1$ のとき $y = -1$

(2) $y = \frac{3}{4}x^4 + x^3 - 3x^2 + 4$

* 極小値: $x = -2$ のとき $y = -4$

* 極大値: $x = 0$ のとき $y = 4$

* 極小値: $x = 1$ のとき $y = \frac{11}{4}$