$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求めよ。

解析学極限三角関数ロピタルの定理sin関数

2025/7/5

1. 問題の内容

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}

を求めよ。

2. 解き方の手順

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

を利用する。

まず、与えられた式を以下のように変形する。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x}

ここで、

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1

および

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1

であるから、

\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} = 1

となる。

したがって、

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}

3. 最終的な答え

\frac{2}{5}

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