与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{1}{x}\right) \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{1}{x}\right) \sin\left(\frac{1}{x}\right)$

を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \frac{1}{x}$ と置換します。$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ なので、極限は

$\lim_{t \to 0} \left(\frac{1}{t} + t\right) \sin(t)$

と書き換えられます。

これを整理すると

$\lim_{t \to 0} \left(\frac{\sin(t)}{t} + t\sin(t)\right)$

となります。

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1$ と $\lim_{t \to 0} t\sin(t) = 0$ であることを利用します。

したがって、

$\lim_{t \to 0} \left(\frac{\sin(t)}{t} + t\sin(t)\right) = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} + \lim_{t \to 0} t\sin(t) = 1 + 0 = 1$

となります。

3. 最終的な答え

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