$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して式を変形します。

$\frac{\sin 3x}{\tan x} = \frac{\sin 3x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用できるように、分子と分母を $x$ で割ります。

$\frac{\sin 3x \cos x}{\sin x} = \frac{\frac{\sin 3x}{x} \cos x}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cos x}{\frac{\sin x}{x}}$

$x \to 0$ のとき $\frac{\sin 3x}{3x} \to 1$, $\cos x \to 1$, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cos x}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 1}{1} = 3$

3. 最終的な答え

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