以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、$y = (1 - \frac{2}{x})^x$ と置き、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (1 - \frac{2}{x})^x = x \ln (1 - \frac{2}{x})$

次に、$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} x \ln (1 - \frac{2}{x})$ を計算します。

この極限は不定形 $\infty \cdot 0$ の形をしているので、$\frac{0}{0}$ の形に変形するために、以下のように書き換えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 - \frac{2}{x})}{\frac{1}{x}}$

この極限は $\frac{0}{0}$ の形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx} \ln (1 - \frac{2}{x})}{\frac{d}{dx} \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 - \frac{2}{x}} \cdot \frac{2}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^2 - 2x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{-(x^2 - 2x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{-x^2 + 2x}$

分子と分母を$x^2$で割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{-1 + \frac{2}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{-1 + \frac{2}{x}} = \frac{2}{-1 + 0} = -2$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \ln y = -2$ となります。

両辺の指数関数を取ると、

$\lim_{x \to \infty} y = e^{-2}$

3. 最終的な答え

$e^{-2}$