$\sqrt{54n}$ が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{54n}$ が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{54n}$ が整数になるためには、$54n$ が平方数 (整数の2乗) になる必要がある。

まず、54を素因数分解する。

$54 = 2 \times 27 = 2 \times 3 \times 9 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^3$

したがって、$\sqrt{54n} = \sqrt{2 \times 3^3 \times n}$ となる。

$\sqrt{54n}$ が整数になるためには、$2 \times 3^3 \times n$ が平方数になる必要がある。

$2 \times 3^3 \times n$ が平方数になるためには、$n$ は $2$ と $3$ を少なくとも1つずつ含んでいる必要がある。

なぜなら、平方数になるためには、すべての素因数の指数が偶数でなければならないからである。

$n$ が最も小さい自然数となるためには、$n = 2 \times 3 = 6$ とすれば良い。

このとき、$\sqrt{54n} = \sqrt{2 \times 3^3 \times (2 \times 3)} = \sqrt{2^2 \times 3^4} = \sqrt{(2 \times 3^2)^2} = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$ となり、整数となる。

3. 最終的な答え

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