この問題は、平方根に関する計算問題です。具体的には、以下の3つのパートに分かれています。 * パート1：分母の有理化 * パート2：$\sqrt{3}$と$\sqrt{30}$の近似値を使って、与えられた数の近似値を求める * パート3：平方根の計算

1. 問題の内容

この問題は、平方根に関する計算問題です。具体的には、以下の3つのパートに分かれています。

* パート1：分母の有理化

* パート2：$\sqrt{3}$と$\sqrt{30}$の近似値を使って、与えられた数の近似値を求める

* パート3：平方根の計算

2. 解き方の手順

**パート1：分母の有理化**

分母にルートがある場合、分母と分子に同じルートをかけて分母を有理化します。

(1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

分母と分子に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(2) $\frac{8}{\sqrt{6}}$

分母と分子に$\sqrt{6}$をかけます。

$\frac{8}{\sqrt{6}} = \frac{8 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{6}}{6} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

(3) $\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{27}}$

まず$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$なので、

$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{27}} = \frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

分母と分子に$\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{8}}$

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$なので、

$\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

分母と分子に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(5) $\frac{9}{\sqrt{48}}$

$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$なので、

$\frac{9}{\sqrt{48}} = \frac{9}{4\sqrt{3}}$

分母と分子に$\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{9}{4\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{4 \times 3} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

(6) $\frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{63}}$

$\sqrt{63} = 3\sqrt{7}$なので、

$\frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{63}} = \frac{7\sqrt{5}}{3\sqrt{7}}$

分母と分子に$\sqrt{7}$をかけます。

$\frac{7\sqrt{5}}{3\sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{5} \times \sqrt{7}}{3 \times 7} = \frac{\sqrt{35}}{3}$

**パート2：近似値を求める**

(1) $\sqrt{300}$

$\sqrt{300} = \sqrt{3 \times 100} = 10\sqrt{3} \approx 10 \times 1.732 = 17.32$

(2) $\sqrt{3000}$

$\sqrt{3000} = \sqrt{30 \times 100} = 10\sqrt{30} \approx 10 \times 5.477 = 54.77$

(3) $\sqrt{0.03}$

$\sqrt{0.03} = \sqrt{\frac{3}{100}} = \frac{\sqrt{3}}{10} \approx \frac{1.732}{10} = 0.1732$

(4) $\frac{9}{\sqrt{3}}$

$\frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196$

**パート3：平方根の計算**

(1) $\sqrt{24} \div \sqrt{3}$

$\sqrt{24} \div \sqrt{3} = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{35} \div \sqrt{45}$

$3\sqrt{35} \div \sqrt{45} = \frac{3\sqrt{35}}{\sqrt{45}} = 3\sqrt{\frac{35}{45}} = 3\sqrt{\frac{7}{9}} = 3 \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \sqrt{7}$

(3) $\sqrt{189} \div 3\sqrt{6}$

$\sqrt{189} \div 3\sqrt{6} = \frac{\sqrt{189}}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{189}}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{9 \times 21}}{3\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{21}}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21}{6}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

(4) $10\sqrt{5} \div 2\sqrt{125}$

$10\sqrt{5} \div 2\sqrt{125} = \frac{10\sqrt{5}}{2\sqrt{125}} = \frac{10\sqrt{5}}{2\sqrt{25 \times 5}} = \frac{10\sqrt{5}}{2 \times 5\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} = 1$

3. 最終的な答え

**パート1：分母の有理化**

(1) $\frac{\sqrt{10}}{5}$

(2) $\frac{4\sqrt{6}}{3}$

(3) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

(4) $\frac{\sqrt{2}}{4}$

(5) $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

(6) $\frac{\sqrt{35}}{3}$

**パート2：近似値を求める**

(1) $17.32$

(2) $54.77$

(3) $0.1732$

(4) $5.196$

**パート3：平方根の計算**

(1) $2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{7}$

(3) $\frac{\sqrt{14}}{2}$

(4) $1$