与えられた3つの平方根の数を、$a\sqrt{b}$ の形に変形する問題です。 (1) $\sqrt{75}$ (2) $\sqrt{180}$ (3) $\sqrt{567}$

1. 問題の内容

与えられた3つの平方根の数を、$a\sqrt{b}$ の形に変形する問題です。

(1) $\sqrt{75}$

(2) $\sqrt{180}$

(3) $\sqrt{567}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{75}$ の場合：

75を素因数分解します。

$75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2$

したがって、

$\sqrt{75} = \sqrt{3 \times 5^2} = \sqrt{5^2} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{180}$ の場合：

180を素因数分解します。

$180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2^2 \times 3 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

したがって、

$\sqrt{180} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{5} = 2 \times 3 \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

(3) $\sqrt{567}$ の場合：

567を素因数分解します。

$567 = 3 \times 189 = 3 \times 3 \times 63 = 3 \times 3 \times 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 = 3^4 \times 7$

したがって、

$\sqrt{567} = \sqrt{3^4 \times 7} = \sqrt{(3^2)^2 \times 7} = 3^2 \times \sqrt{7} = 9\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

(3) $\sqrt{567} = 9\sqrt{7}$