問題は2つあります。 1つ目の問題は、分数 $\frac{3}{7}$ を小数で表したとき、小数第200位の数字を求める問題です。 2つ目の問題は、$x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$、$y=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ のとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2y + xy^2$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、分数 $\frac{3}{7}$ を小数で表したとき、小数第200位の数字を求める問題です。

2つ目の問題は、$x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$、$y=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ のとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2y + xy^2$

2. 解き方の手順

**1つ目の問題**

$\frac{3}{7}$ を小数で表すと、循環小数になります。

$\frac{3}{7} = 0.\overline{428571}$

循環節の長さは6です。

小数第200位の数字を求めるには、200を6で割った余りを考えます。

$200 \div 6 = 33$ あまり 2

余りが2なので、小数第200位の数字は循環節の2番目の数字である2になります。

**2つ目の問題**

(1) $x+y$ を計算します。

$x = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$

$y = \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

$x+y = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}$

(2) $xy$ を計算します。

$xy = (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = 3-1 = 2$

(3) $x^2y + xy^2$ を計算します。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$

(1)と(2)の結果より

$x^2y + xy^2 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

**1つ目の問題**

小数第200位の数字：2

**2つ目の問題**

(1) $x+y = 2\sqrt{3}$

(2) $xy = 2$

(3) $x^2y + xy^2 = 4\sqrt{3}$