問題文は、4つの数字0, 1, 2, 3を重複を許して使うとき、以下の条件を満たす正の整数が何個できるか、というものです。 (ア) 4桁の整数 (イ) 3桁以下の整数

1. 問題の内容

問題文は、4つの数字0, 1, 2, 3を重複を許して使うとき、以下の条件を満たす正の整数が何個できるか、というものです。

(ア) 4桁の整数

(イ) 3桁以下の整数

2. 解き方の手順

(ア) 4桁の整数について

4桁の整数を作る場合、千の位には0以外の数字(1,2,3)のいずれかを選ぶことができます。したがって、千の位の選び方は3通りです。百の位、十の位、一の位には、0,1,2,3のいずれの数字も選ぶことができます。したがって、百の位、十の位、一の位の選び方はそれぞれ4通りです。よって、4桁の整数の個数は

$3 \times 4 \times 4 \times 4 = 3 \times 4^3 = 3 \times 64 = 192$ 個となります。

(イ) 3桁以下の整数について

3桁以下の整数は、1桁、2桁、3桁の整数を考えます。

* 1桁の整数は、0以外の数字(1,2,3)なので、3個です。

* 2桁の整数は、十の位には0以外の数字(1,2,3)のいずれかを選ぶことができます。したがって、十の位の選び方は3通りです。一の位には、0,1,2,3のいずれの数字も選ぶことができます。したがって、一の位の選び方は4通りです。よって、2桁の整数の個数は

$3 \times 4 = 12$ 個となります。

* 3桁の整数は、百の位には0以外の数字(1,2,3)のいずれかを選ぶことができます。したがって、百の位の選び方は3通りです。十の位、一の位には、0,1,2,3のいずれの数字も選ぶことができます。したがって、十の位、一の位の選び方はそれぞれ4通りです。よって、3桁の整数の個数は

$3 \times 4 \times 4 = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48$ 個となります。

したがって、3桁以下の整数の個数は

$3 + 12 + 48 = 63$ 個となります。

3. 最終的な答え

(ア) 192個

(イ) 63個