与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の6つの分数を分母にルートを含まない形に変形する必要があります。 (1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ (2) $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (3) $\frac{20}{\sqrt{5}}$ (4) $\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$ (5) $\frac{8}{3\sqrt{2}}$ (6) $\frac{8}{\sqrt{32}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の6つの分数を分母にルートを含まない形に変形する必要があります。

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

(2) $\frac{2}{\sqrt{3}}$

(3) $\frac{20}{\sqrt{5}}$

(4) $\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$

(5) $\frac{8}{3\sqrt{2}}$

(6) $\frac{8}{\sqrt{32}}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母と分子に適切な数を掛けて分母からルートを取り除く操作です。

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ の場合、分母と分子に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

(2) $\frac{2}{\sqrt{3}}$ の場合、分母と分子に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

(3) $\frac{20}{\sqrt{5}}$ の場合、分母と分子に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$

(4) $\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$ の場合、分母と分子に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{15}}{6}$

(5) $\frac{8}{3\sqrt{2}}$ の場合、分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

(6) $\frac{8}{\sqrt{32}}$ の場合、まず $\sqrt{32}$ を簡単にします。 $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$. よって、

$\frac{8}{\sqrt{32}} = \frac{8}{4\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$.

次に、分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{15}}{5}$

(2) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(3) $4\sqrt{5}$

(4) $\frac{\sqrt{15}}{6}$

(5) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

(6) $\sqrt{2}$