梨4個、柿2個、桃2個の中から合計6個の果物を取り出す方法は何通りあるか。ただし、取り出さない果物があってもよいものとする。

1. 問題の内容

梨4個、柿2個、桃2個の中から合計6個の果物を取り出す方法は何通りあるか。ただし、取り出さない果物があってもよいものとする。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせの問題として考えることができます。

梨を $x$ 個、柿を $y$ 個、桃を $z$ 個取り出すとすると、

$x + y + z = 6$

という式が成り立ちます。ただし、$0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 2$ です。

まず、制約がない場合、つまり $x, y, z \ge 0$ の場合の組み合わせの数を求めます。これは、6個の○と2個の仕切りを並べる順列の数に等しく、

${}_{6+3-1}C_{3-1} = {}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通りとなります。

次に、$y > 2$ または $z > 2$ となる場合を考えます。

* $y \ge 3$ の場合、$y' = y - 3$ とおくと、$x + y' + z = 3$ となり、組み合わせの数は ${}_{3+3-1}C_{3-1} = {}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

* $z \ge 3$ の場合、$z' = z - 3$ とおくと、$x + y + z' = 3$ となり、組み合わせの数は ${}_{3+3-1}C_{3-1} = {}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

$x > 4$の場合は、$x' = x - 5$とおくと、$x' + y + z = 1$となり、組み合わせの数は${}_{1+3-1}C_{3-1} = {}_3C_2 = 3$通りです。

$y \ge 3$ かつ $z \ge 3$ は同時に起こりえないので、$x, y, z \le 4$は常に満たされます。

$y \ge 3$または$z \ge 3$となる組み合わせ数は、$10+10 = 20$通りです。

$y, z \le 2$という条件を満たす組み合わせ数は、28 - 20 = 8通りとなります。

最後に、$x$の制約 $x \le 4$ を考慮します。$x \ge 5$のとき、$x'=x-5$とおくと、$x' + y + z = 1$となり、${}_3C_2 = 3$通り。

よって、$8 - 3 = 5$通り

次に$x \le 4$の制約を満たしていない場合を考える。つまり$x \ge 5$。この時、$x+y+z = 6$かつ$x \ge 5$である。$x' = x-5$とおくと、$x' + y + z = 1$となる。これは3通り。

求める組み合わせは28 - 10 - 10 - 3 = 5通り。

3. 最終的な答え

5通り