与えられた式 $(a+b+3)(a-b+3)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+3)(a-b+3)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を $(A+b)(A-b)$ の形になるように変形します。ここで、 $A = a+3$ とおきます。

すると、与えられた式は

$$(a+3+b)(a+3-b) = (A+b)(A-b)$$

と書けます。

$(A+b)(A-b)$ を展開すると、$A^2 - b^2$ になります。

したがって、

$$(a+3+b)(a+3-b) = (a+3)^2 - b^2$$

次に、 $(a+3)^2$ を展開します。

$$(a+3)^2 = a^2 + 2(3)a + 3^2 = a^2 + 6a + 9$$

したがって、

$$(a+3)^2 - b^2 = a^2 + 6a + 9 - b^2$$

整理すると、

$$a^2 - b^2 + 6a + 9$$

3. 最終的な答え

$a^2 - b^2 + 6a + 9$