円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=3$, $BC=5$, $CD=5$, $DA=8$ である。$\angle ABC$の角度、線分$AC$の長さ、そして四角形$ABCD$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=3$, $BC=5$, $CD=5$, $DA=8$ である。$\angle ABC$の角度、線分$AC$の長さ、そして四角形$ABCD$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle ABC = \theta$とおく。四角形ABCDが円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \theta$となる。

(2) $\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos{\theta}$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)\cos{\theta} = 9+25 - 30\cos{\theta} = 34 - 30\cos{\theta}$

(3) $\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)\cos{(180^\circ - \theta)}$

$AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2(8)(5)\cos{(180^\circ - \theta)} = 64+25 - 80(-\cos{\theta}) = 89 + 80\cos{\theta}$

(4) (2)と(3)より、$34 - 30\cos{\theta} = 89 + 80\cos{\theta}$

$110\cos{\theta} = -55$

$\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$

よって、$\theta = 120^\circ$

(5) $AC^2 = 34 - 30\cos{120^\circ} = 34 - 30(-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$AC = 7$

(6) 四角形ABCDの面積をSとする。

$S = \triangle ABC + \triangle ADC = \frac{1}{2}(3)(5)\sin{120^\circ} + \frac{1}{2}(8)(5)\sin{(180^\circ - 120^\circ)}$

$S = \frac{15}{2}\sin{120^\circ} + \frac{40}{2}\sin{60^\circ} = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} + 10\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3} + 40\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\angle ABC = 120^\circ$

$AC = 7$

四角形ABCDの面積は $\frac{55\sqrt{3}}{4}$