与えられた3つの式をそれぞれ計算し、簡単にしてください。 (2) $\frac{2}{\sqrt{32}}$ (4) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ (6) $\frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2} - \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ計算し、簡単にしてください。

(2) $\frac{2}{\sqrt{32}}$

(4) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

(6) $\frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2} - \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2}$

2. 解き方の手順

(2) $\frac{2}{\sqrt{32}}$ を計算します。

まず、$\sqrt{32}$ を簡単にします。

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

よって、

$\frac{2}{\sqrt{32}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

分母を有理化します。

$\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(4) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ を計算します。

分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}$

分子を展開します。

$(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 2\sqrt{4 \times 3} = 8 - 2(2\sqrt{3}) = 8 - 4\sqrt{3}$

分母は $(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$

よって、

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = \frac{4(2 - \sqrt{3})}{4} = 2 - \sqrt{3}$

(6) $\frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2} - \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2}$ を計算します。

通分します。

$\frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2} - \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2} = \frac{(\sqrt{6} - 2)^2 - (\sqrt{6} + 2)^2}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{6} - 2)^2 = (\sqrt{6})^2 - 4\sqrt{6} + 4 = 6 - 4\sqrt{6} + 4 = 10 - 4\sqrt{6}$

$(\sqrt{6} + 2)^2 = (\sqrt{6})^2 + 4\sqrt{6} + 4 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6}$

$(\sqrt{6} - 2)^2 - (\sqrt{6} + 2)^2 = (10 - 4\sqrt{6}) - (10 + 4\sqrt{6}) = -8\sqrt{6}$

分母は $(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$

よって、

$\frac{(\sqrt{6} - 2)^2 - (\sqrt{6} + 2)^2}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} = \frac{-8\sqrt{6}}{2} = -4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{\sqrt{2}}{4}$

(4) $2 - \sqrt{3}$

(6) $-4\sqrt{6}$