問題は、以下の2つの累乗根の式における空欄に当てはまる数を求める問題です。 (1) $\sqrt[5]{8} = 2^{\boxed{ア}}$ (2) $\sqrt[3]{54} = 3 \times 2^{\boxed{イ}}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの累乗根の式における空欄に当てはまる数を求める問題です。

(1) $\sqrt[5]{8} = 2^{\boxed{ア}}$

(2) $\sqrt[3]{54} = 3 \times 2^{\boxed{イ}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[5]{8} = 2^{\boxed{ア}}$ について

まず、左辺を指数を用いて表します。

$\sqrt[5]{8} = 8^{\frac{1}{5}}$

さらに、$8 = 2^3$ であることを用いると、

$8^{\frac{1}{5}} = (2^3)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{5}}$

したがって、$\boxed{ア} = \frac{3}{5}$ となります。

(2) $\sqrt[3]{54} = 3 \times 2^{\boxed{イ}}$ について

まず、左辺の$\sqrt[3]{54}$ を素因数分解します。$54 = 2 \times 27 = 2 \times 3^3$ であるため、

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^3} = \sqrt[3]{3^3 \times 2} = 3 \sqrt[3]{2}$

したがって、$\sqrt[3]{54} = 3 \times \sqrt[3]{2}$ となります。

ここで、$2^{\boxed{イ}} = \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$ であるため、$\boxed{イ} = \frac{1}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{3}{5}$

イ: $\frac{1}{3}$