$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\sin^2\theta + 2\cos\theta + 4$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\sin^2\theta + 2\cos\theta + 4$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2\theta$ を $\cos\theta$ で表します。三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ です。これを元の式に代入します。

$y = 2(1 - \cos^2\theta) + 2\cos\theta + 4$

$y = 2 - 2\cos^2\theta + 2\cos\theta + 4$

$y = -2\cos^2\theta + 2\cos\theta + 6$

ここで、$t = \cos\theta$ と置くと、$-1 \le t \le 1$ となります。

$y = -2t^2 + 2t + 6$

この $t$ の2次関数を平方完成します。

$y = -2(t^2 - t) + 6$

$y = -2\left(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + 6$

$y = -2\left(\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right) + 6$

$y = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 6$

$y = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{13}{2}$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $y = \frac{13}{2}$ をとります。$\cos\theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。

$t = -1$ のとき、最小値をとります。

$y = -2(-1)^2 + 2(-1) + 6 = -2 - 2 + 6 = 2$

$\cos\theta = -1$ となる $\theta$ は、$\theta = \pi$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{13}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値: $2$ ($\theta = \pi$ のとき)