問題は、次の2つの2次式を因数分解することです。 (1) $x^2 + 6x + 7$ (2) $2x^2 - 2x + 5$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの2次式を因数分解することです。

(1) $x^2 + 6x + 7$

(2) $2x^2 - 2x + 5$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 6x + 7$ を因数分解します。

この2次式は、整数係数を持つ2つの1次式の積に因数分解できません。

なぜなら、判別式 $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(7) = 36 - 28 = 8$ が完全平方数ではないからです。

解の公式を使って、$x^2 + 6x + 7 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -3 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x^2 + 6x + 7 = (x - (-3 + \sqrt{2}))(x - (-3 - \sqrt{2})) = (x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$ と因数分解できます。

(2) $2x^2 - 2x + 5$ を因数分解します。

この2次式も、整数係数を持つ2つの1次式の積に因数分解できません。

なぜなら、判別式 $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(2)(5) = 4 - 40 = -36$ が負の数だからです。

解の公式を使って、$2x^2 - 2x + 5 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{4} = \frac{2 \pm 6i}{4} = \frac{1 \pm 3i}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}i$

したがって、$2x^2 - 2x + 5 = 2(x - (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i))(x - (\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i))$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(1) $(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$

(2) $2(x - (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i))(x - (\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i))$