4元連立1次方程式 $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0$ $a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0$ $a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0$ が解 $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ (ただし、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は実定数) を持つとき、行列式 $ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} $ の値を求める。

1. 問題の内容

4元連立1次方程式

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0$

$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0$

$a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0$

$a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0$

が解 $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ (ただし、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は実定数) を持つとき、行列式

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}

$$

の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた連立1次方程式が自明でない解を持つための必要十分条件は、係数行列の行列式が0であることです。なぜなら、もし行列式が0でなければ、解は自明な解 $(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0, 0, 0)$ のみになるからです。問題文から、$x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ が解であると与えられているので、少なくとも一つの自明でない解を持つことがわかります。したがって、係数行列の行列式は0である必要があります。

3. 最終的な答え

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