行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A^n$（$n$は0以上の整数）を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A^n$（$n$は0以上の整数）を求める。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の形から、回転行列を疑います。

$A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ と比較すると、$\cos\theta = \frac{1}{2}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

したがって、$A$ は $\frac{\pi}{3}$ だけ回転させる行列です。

$A = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}$ と表せます。

行列の積の性質より、回転行列の積は角度の和になります。

したがって、$A^n$ は $\frac{n\pi}{3}$ だけ回転させる行列になります。

$A^n = \begin{pmatrix} \cos\frac{n\pi}{3} & -\sin\frac{n\pi}{3} \\ \sin\frac{n\pi}{3} & \cos\frac{n\pi}{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \begin{pmatrix} \cos\frac{n\pi}{3} & -\sin\frac{n\pi}{3} \\ \sin\frac{n\pi}{3} & \cos\frac{n\pi}{3} \end{pmatrix}$