与えられた多項式 $x^3y + x^2y^2 + x^3 + x^2y - xy - y^2 - x - y$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^3y + x^2y^2 + x^3 + x^2y - xy - y^2 - x - y$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まずは多項式を整理し、共通因数を見つけやすいように項を並べ替えます。

$x^3y + x^3 + x^2y^2 + x^2y - xy - y^2 - x - y$

次に、いくつかの項をグループ化して共通因数でくくり出します。

$x^3(y+1) + x^2y(y+1) - x(y+1) - y(y+1)$

さらに、$y+1$ を共通因数としてくくり出します。

$(y+1)(x^3 + x^2y - x - y)$

次に、$x^3 + x^2y - x - y$ の部分を因数分解します。

$x^2(x+y) - 1(x+y)$

$(x+y)(x^2-1)$

$x^2 - 1$ は $(x+1)(x-1)$ と因数分解できます。

したがって、

$x^3 + x^2y - x - y = (x+y)(x+1)(x-1)$

元の式に代入すると、

$(y+1)(x+y)(x+1)(x-1)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x+1)(x+y)(y+1)$