与えられた4x4行列の行列式を計算し、「ソ」に当てはまる数を求めます。 行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 5 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \\ 4 & -1 & 2 & 1 \\ -3 & 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算し、「ソ」に当てはまる数を求めます。

行列は次の通りです。

$ \begin{vmatrix}

5 & 1 & -1 & -2 \\

1 & -2 & 3 & 4 \\

4 & -1 & 2 & 1 \\

-3 & 2 & 1 & 5

\end{vmatrix} $

2. 解き方の手順

行列式を計算するには、いくつかの方法があります。ここでは、行または列に関する余因子展開を使用します。計算量を減らすために、まず行基本変形を用いて行列の要素を簡単にします。

まず、1行目を基準にして、2行目以降の1列目の要素を0にするように変形します。

2行目：$R_2 \rightarrow R_2 - \frac{1}{5}R_1$

3行目：$R_3 \rightarrow R_3 - \frac{4}{5}R_1$

4行目：$R_4 \rightarrow R_4 + \frac{3}{5}R_1$

新しい行列は次のようになります。

$ \begin{vmatrix}

5 & 1 & -1 & -2 \\

0 & -\frac{11}{5} & \frac{16}{5} & \frac{22}{5} \\

0 & -\frac{9}{5} & \frac{14}{5} & \frac{13}{5} \\

0 & \frac{13}{5} & \frac{2}{5} & \frac{19}{5}

\end{vmatrix} $

この行列の行列式は、1列目で余因子展開することにより、次のようになります。

$5 \cdot \begin{vmatrix}

-\frac{11}{5} & \frac{16}{5} & \frac{22}{5} \\

-\frac{9}{5} & \frac{14}{5} & \frac{13}{5} \\

\frac{13}{5} & \frac{2}{5} & \frac{19}{5}

\end{vmatrix}$

行列式のスカラー倍の性質から、各行から$\frac{1}{5}$をくくりだすと、$\frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$となるため、

$5 \cdot \frac{1}{125} \cdot \begin{vmatrix}

-11 & 16 & 22 \\

-9 & 14 & 13 \\

13 & 2 & 19

\end{vmatrix} = \frac{1}{25} \begin{vmatrix}

-11 & 16 & 22 \\

-9 & 14 & 13 \\

13 & 2 & 19

\end{vmatrix}$

$ \begin{vmatrix}

-11 & 16 & 22 \\

-9 & 14 & 13 \\

13 & 2 & 19

\end{vmatrix} = -11(14\cdot19 - 13\cdot2) - 16(-9\cdot19 - 13\cdot13) + 22(-9\cdot2 - 14\cdot13) \\

= -11(266 - 26) - 16(-171 - 169) + 22(-18 - 182) \\

= -11(240) - 16(-340) + 22(-200) \\

= -2640 + 5440 - 4400 = -1600$

したがって、行列式は$\frac{1}{25} (-1600) = -64$

3. 最終的な答え

-64