与えられた4つの3次方程式を因数定理を用いて解く問題です。 (1) $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$ (2) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ (3) $x^3 - x - 6 = 0$ (4) $x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの3次方程式を因数定理を用いて解く問題です。

(1) $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$

(2) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

(3) $x^3 - x - 6 = 0$

(4) $x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$

因数定理より、$x=2$ が解の一つであることがわかる。

組み立て除法を行うと、

$$$$

\begin{array}{c|cccc}

2 & 1 & -4 & 6 & -4 \\

\hline

& & 2 & -4 & 4 \\

\hline

& 1 & -2 & 2 & 0 \\

\end{array}

$$$$

よって、$x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = (x-2)(x^2 - 2x + 2) = 0$ となる。

$x^2 - 2x + 2 = 0$ を解く。解の公式より、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

(2) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

因数定理より、$x=1$ を代入すると、$1 - 2 - 5 + 6 = 0$ なので、$x=1$ が解の一つであることがわかる。

組み立て除法を行うと、

$$$$

\begin{array}{c|cccc}

1 & 1 & -2 & -5 & 6 \\

\hline

& & 1 & -1 & -6 \\

\hline

& 1 & -1 & -6 & 0 \\

\end{array}

$$$$

よって、$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x-1)(x^2 - x - 6) = 0$ となる。

$x^2 - x - 6 = 0$ を因数分解すると、$(x-3)(x+2) = 0$ となる。

したがって、$x=3, -2$

(3) $x^3 - x - 6 = 0$

因数定理より、$x=2$ を代入すると、$8 - 2 - 6 = 0$ なので、$x=2$ が解の一つであることがわかる。

組み立て除法を行うと、

$$$$

\begin{array}{c|cccc}

2 & 1 & 0 & -1 & -6 \\

\hline

& & 2 & 4 & 6 \\

\hline

& 1 & 2 & 3 & 0 \\

\end{array}

$$$$

よって、$x^3 - x - 6 = (x-2)(x^2 + 2x + 3) = 0$ となる。

$x^2 + 2x + 3 = 0$ を解く。解の公式より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = -1 \pm \sqrt{2}i$

(4) $x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$

因数定理より、$x=3$ を代入すると、$27 - 27 + 12 - 12 = 0$ なので、$x=3$ が解の一つであることがわかる。

組み立て除法を行うと、

$$$$

\begin{array}{c|cccc}

3 & 1 & -3 & 4 & -12 \\

\hline

& & 3 & 0 & 12 \\

\hline

& 1 & 0 & 4 & 0 \\

\end{array}

$$$$

よって、$x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = (x-3)(x^2 + 4) = 0$ となる。

$x^2 + 4 = 0$ を解くと、$x^2 = -4$ より、$x = \pm 2i$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, 1 \pm i$

(2) $x = 1, 3, -2$

(3) $x = 2, -1 \pm \sqrt{2}i$

(4) $x = 3, \pm 2i$