$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。 (3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。

(3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \times \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}$

$a = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $a$ の小数部分 $b$ を求める。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ であるから、

$5 < 3 + 2\sqrt{2} < 6$ となる。

よって、$a$ の整数部分は 5 である。

$b = a - 5 = (3 + 2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2} - 2$

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

$a + b = (3 + 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} - 2) = 1 + 4\sqrt{2}$

$a - b = (3 + 2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2} - 2) = 5$

$a^2 - b^2 = (1 + 4\sqrt{2}) \times 5 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その和が0となる。

$4b = 4(2\sqrt{2} - 2) = 8\sqrt{2} - 8 = \sqrt{128} - 8$

$\sqrt{121} < \sqrt{128} < \sqrt{144}$ より $11 < \sqrt{128} < 12$

$3 < \sqrt{128} - 8 < 4$ なので、 $3 < 4b < 4$

$p < x < p + 4b$ を満たす整数が3個で、その和が0であるとき、

それらの整数は、$n-1, n, n+1$ (和は$3n$となり、これが0となるので、$n=0$) であり、

$-1, 0, 1$ である。

したがって、$p < -1$ かつ $1 < p + 4b$ でなければならない。

$p < x < p + 4b$ より、$-1, 0, 1$ が範囲に入り、$-2$ および $2$ が範囲に入らない場合を考える。

$p < -1$, $0 < p + 4b$, $1 < p + 4b < 2$ が成り立つ。

$p < -1$

$p > -4b$

$2 > p + 4b \ge 1$

$2 - 4b > p \ge 1 - 4b$

$p < -1$ かつ $1 - 4b \le p < 2 - 4b$ を満たす $p$ を求める。

$-4b = -8\sqrt{2} + 8$

$1 - 4b = 1 - 8\sqrt{2} + 8 = 9 - 8\sqrt{2}$

$2 - 4b = 2 - 8\sqrt{2} + 8 = 10 - 8\sqrt{2}$

$9 - 8\sqrt{2} < p < \min(10 - 8\sqrt{2}, -1)$

$9 - 8\sqrt{2} \approx 9 - 8(1.414) = 9 - 11.312 = -2.312$

$10 - 8\sqrt{2} \approx 10 - 11.312 = -1.312$

$-1$ との比較より、

$9 - 8\sqrt{2} < p < -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$, $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $9 - 8\sqrt{2} < p \le 10-8\sqrt{2}$

(3) 不等式 $p<x<p+4b$ を満たす整数xが3個であり、その3個の整数の和が0となるようなpの値の範囲は$9-8\sqrt{2} \le p < 10-8\sqrt{2}$

$9 - 8\sqrt{2} < p \le -1$

最終的な答え： $9-8\sqrt{2} \le p < 10-8\sqrt{2}$