与えられた連立方程式を解き、係数行列 $A$ と拡大係数行列 $B$ のランクを求め、解 $x$, $y$, $z$ を求める問題です。連立方程式は以下の通りです。 $\begin{cases} x + 2y + z = -1 \\ 2x + 5y + 2z = 1 \\ x + 3y + 2z = 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解き、係数行列 $A$ と拡大係数行列 $B$ のランクを求め、解 $x$, $y$, $z$ を求める問題です。連立方程式は以下の通りです。

$\begin{cases} x + 2y + z = -1 \\ 2x + 5y + 2z = 1 \\ x + 3y + 2z = 0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を解きます。

(2) - 2 * (1): $y = 3$

(3) - (1): $y + z = 1$ より $z = 1 - y = 1 - 3 = -2$

(1) に代入: $x + 2 * 3 + (-2) = -1$ より $x + 6 - 2 = -1$, よって $x = -5$

したがって、$x = -5, y = 3, z = -2$ です。

次に、係数行列 $A$ と拡大係数行列 $B$ を定義します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$A$ の行列式を計算します。

$\det(A) = 1(5*2 - 2*3) - 2(2*2 - 1*2) + 1(2*3 - 1*5) = 1(10-6) - 2(4-2) + 1(6-5) = 4 - 4 + 1 = 1 \neq 0$

したがって、rank(A) = 3 です。

$B$ のランクは、Aのランク以上になることはありません。

もしも$x = -5, y = 3, z = -2$を3つの式に代入し満たされるならば、この連立方程式は解を持つためrank(B) = rank(A)が成立する。

$x = -5, y = 3, z = -2$を代入した際、3つの式が満たされるので、rank(B) = rank(A) = 3

3. 最終的な答え

rank(A) = 3

rank(B) = 3

$x = -5$

$y = 3$

$z = -2$