問題は、次の二つの連立方程式を掃き出し法によって解くことです。それぞれの連立方程式について、階数を確認し解が存在するか確認することも求められています。 (1) $2x + y = 0$ $5x - 2y = 3$ $4x - y = 1$ (2) $3x + 2y + 4z = 7$ $x + 2y = 5$ $2x + y + 5z = 8$

1. 問題の内容

問題は、次の二つの連立方程式を掃き出し法によって解くことです。それぞれの連立方程式について、階数を確認し解が存在するか確認することも求められています。

(1)

$2x + y = 0$

$5x - 2y = 3$

$4x - y = 1$

(2)

$3x + 2y + 4z = 7$

$x + 2y = 5$

$2x + y + 5z = 8$

2. 解き方の手順

(1) の連立方程式を解きます。まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 3 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 5 & -2 & 3 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の5倍を引き、3行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & -9/2 & 3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を-2/9倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -2/3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の3倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -2/3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -2/3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に3行目の2/3倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目に2行目の-1/2倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

すると、$x = 0, y = 0, 0x + 0y = 1$ となり、最後の式を満たす解が存在しないため、解なしです。

(2) の連立方程式を解きます。まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 7 \\ 1 & 2 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 5 & 8 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4 & 7 \\ 2 & 1 & 5 & 8 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引き、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & -4 & 4 & -8 \\ 0 & -3 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

2行目を-1/4倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の3倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

3行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2行目に3行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

よって、$x = -3, y = 4, z = 2$

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) $x = -3, y = 4, z = 2$