与えられた行列 $A$ の階数(rank)を求めます。 $A = \begin{bmatrix} 8 & -4 & -3 & 5 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数(rank)を求めます。

$A = \begin{bmatrix} 8 & -4 & -3 & 5 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行列を簡約化したときの零でない行の数に等しくなります。したがって、与えられた行列を行基本変形を用いて簡約化します。

まず、1行目を8で割ります。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目の3倍を引き、3行目に1行目の5倍を加えます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 0 & 3/2 & -7/8 & 9/8 \\ 0 & 3/2 & -7/8 & 9/8 \end{bmatrix}$

次に、3行目から2行目を引きます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 0 & 3/2 & -7/8 & 9/8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

次に、2行目を 2/3 倍します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 0 & 1 & -7/12 & 3/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

最後に、1行目に2行目の 1/2 倍を加えます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -13/48 & 29/48 \\ 0 & 1 & -7/12 & 3/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は、零でない行が2つあります。したがって、行列の階数は2です。

3. 最終的な答え

2